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その謂れを調べた。http://www.nnh.to/11/11.html にこうある。

伊豆長岡観光協会(現 伊豆の国市観光協会)が制定。下駄の足跡が「11 11」に見えることから。

伊豆の国市観光協会 http://izunotabi.com/ のサイト内検索で「下駄」とすると、以下の記載が見える。

伊豆長岡温泉では、江戸前期の俳人、歌人である捨女の、「雪の朝二の字二の字の下駄の跡」の句にちなみ、ふたつの「二」を９０度回転させた１１月１１日に、下駄供養祭を行っています。温泉街を訪れた観光客の方が使用した、下駄に感謝の気持ちを込めて・・・

捨女（1633-1698）は、伊豆長岡の人かと思いきや、大辞林によると丹波の人らしい。